(1) ( jwL_e + Z_se + Z_Le ) I_e + jwM I_v = V_ls
jwM I_e + ( jwL_v + Z_sv +Z_Lv ) I_v = 0
De notat ca superpozitia a fost folosita la obtinerea acestor ecuatii. În concluzie, considerind tensiunea de zgomot din circuitul victima ca un rezultat al cuplajului prin intermediul cimpului magnetic creeat de circuitul de emisie, sursa anticipata de tensiune V_vs din circuitul victima a fost setata la valoarea zero. Tensiunea totala la bornele sarcinii din circuitul victima va fi atunci suma dintre tensiunea de zgomot indusa si tensiunea care rezulta din sursa V_vs.
Sistemul de ecuatii anterior poate fi rezolvat pentru I_v=I_zgomot curentul de zgomot care rezulta din t.e.m indusa de-a lungul infasurarii circuitului victima prin intermediul cimpului magnetic variabil in functie de timp determinat de curentul I_e din infasurarea de emisie. Curentul de zgomot din circuitul victima este
(2) I_zgomot = I_v = - jwM I_e / (jwL_v + Z_sv + Z_Lv ) ,
iar tensiunea de zgomot la bornele sarcinii din circuitul victima este
(3) V_zgomot = jwM I_e [( Z_Lv / (jwL_v + Z_sv + Z_Lv )].
În general este de dorit sa se minimizeze L_v. Ca rezultat
* jwL_v * < * Z_sv + Z_Lv *
in cele mai multe cazuri. Tensiunea de zgomot la bornele sarcinii din circuitul victima este in acest caz
(4) V_zgomot . jwM I_e [ Z_Lv / ( Z_sv + Z_Lv ) ] .
Cuplajul prin intermediul unui cimp magnetic variabil in timp va fi atunci mai mare pentru valori mai mari ale curentilor din circuitul de emisie, mai mare inductanta mutuala M dintre cele doua infasurari, iar sarcina circuitului victima va avea o valoare mai mare a impedantei circuitului.
Cuplajul mutual M dintre circuite este definit ca
(5) 
unde H_e este cimpul magnetic care este rezultatul curentului din circuitul de emiter I_e in absenta circuitului victima. Inductanta mutuala poate fi minimizata, prin minimizarea suprafetei miezului A_v a circuitului victima, si/sau minimizarea cimpului magnetic H_e produs de circuitul emitator prin suprafata miezului A_v a circuitului victima. Cimpul magnetic H_e prin A_v poate fi redus prin cresterea separatiei dintre circuitul emitator si circuitului victima, ca si prin plasarea curenutului de semnal si a curentului semnalului de intoarcere in bucla emitatoare foarte aproape unul fata de celalalt. Ultimul caz are ca rezultat doi curenti avind directii opuse acesti doi curenti fiind foarte apropiati unul fata de celalalt. Cimpurile magnetice creeate de fiecare curent au directii opuse, rezultind o anulare semnificativa, asa cu se poate vedea si in Figura 2.

Isemnal, Isemnal de intoarcere, Cimpurile H intarite, Cimpurile H partial anulate  Figura 2. Anularea partiala a cimpului magnetic ca rezultat al curentilor paraleli aflati la distanta mica unul fata de celalalt si avind directii opuse.

Pot apoi fi formulate citeva principii de proiectare referitoare la minimizarea zgomotului produs de cuplajul prin intermediul cimpului magnetic.
1. Minimizarea suprafetelor circuitelor in bucla. Suprafata buclei este determinata de calea de curent completa care leaga sursa de sarcina, cit si de calea de reintoarcerea la sursa. (Retineti ca intotdeauna curentul electric revine la sursa care il genereaza.)
2. Conecteaza conductoarele prin care se reintoarce semnalul ( uneori denumite referinta sau pamint ) conductorul de semnal in circuit inchis pentru a obtine inchiderea partiala a cimpului magnetic prin exteriorul buclei de curent .
3. Încearca sa separe cit mai mult posibil circuitele care sunt suspectate a fi parcurse de curenti mari si pot functiona ca emitatoare, de circuitele care au impedante de valori mari care ar putea fi susceptibile de a receptiona zgomotul indus in acestea datorita cuplajului prin intermediul cimpului magnetic .
Experimente
Configuratia pentru teste experimentale este reprezentata in Figura 3.

Generator de functii, infasurare multipla (emitator) de diametru 11 cm, infasurare multipla (receptor), Osciloscop (Canalul 1, Canalul 2)

Figura 3. Configuratia experimentala pentru studiului cuplajelor dintre buclele de circuit prin intermediul unui cimp magnetic variabil in timp .
1. Pentru patru diametre ale buclelor victima, 11, 7, 5.5, si 4 cm, si o separare intre infasurari de d=0, masurati tensiunea generata la bornele terminale ale infasurarii victima ( secundarul ). Modificati amplitudinea sursei pentru a obtine aproximativ 3 V_p-p volti masurati la bornele rezistentei de 10 ? ohm; rezistorul din infasurarea care contine sursa . Utilizati o sursa sinusoidala cu frecventa de 1 MHz. Reprezentati punctual pe un grafic tensiunile maxime V_p-p ( pe ordonata ) de la bornele terminale ale infasurarii victima in raport cu suprafata ( pe abscisa ). Este functia obtinuta lineara ? Ar putea fi impus un comportament liniar acestei functii ? Discutati aceste intrebari .
2. Pentru infasurarea victima avind diamterul de 11 cm , reprezentati punct cu punct tensiunea V_p-p de la terminalele infasurarii victima ( in ordonata ) in raport cu distanta d ( in abscisa ). Obtineti maximum sase siruri de date ( puncte ) . Discutati variatia functionala a acestei curbe ?
3. Investigati cuplajul pentru orientarile infasurarilor emitator si receptor indicate in Figura 4. pentru cele doua infasurari avind diametrele de 11 cm .

Figura 4. Orientarea infasurarilor emitator si receptor .

Pentru cazurile 1 si 5, tensiunea masurata in circuitul victima are defazajul de 180 grade. Înregistrati marimea si faza tensiunii ( relativa la tensiunea masurata la bornele rezistorului de 10 ohm. Concepeti un model de circuit echivalent pentru fiecare caz aratind conventia corecta de semn pentru tensiunea masurata . Nu determinati valoarea numerica pentru nici un parametru .
4. Utilizind bucla receptoare de diametru de 11 cm , pozitionati bucla receptoare deasupra buclei emiter ( in asa fel incit axele celor doua bucle sa coincida ), si reprezentati grafic tensiunea masurata V_p-p in bucla victima ca o functie de distanta r dintre centrele celor doua bucle, bucla victima este indepartata fata de bucla emiter asa cum se arata mai jos . Explicati de ce valorile maxima pozitiva si respectiv maxima negativa cit si valoarea nula a tensiunii sunt obtine pentru o anumita distanta .
5. Pentru infasurarile emitator si victima coincidente cu r=0, asa cum s-a cerut si in Partea a 4-a mai anterior, aplicati o unda rectangulara de la sursa, si investigati relatia dintre semnalul sursa ( Canalul 1 al osciloscopului ) si semnalul din infasurarea ( Canallul 2). Folositi infasurarile de diametre de 11 cm atit pentru emiter cit si pentru receptor. Acordati frecventa la valoarea de 100 kHz, iar timpul de crestere pentru unda rectangulara de aproximativ 6 ns. Care este relatia dintre semnalele care parcurg cele doua circuite victima si emiter ? Poate fi aceasta relatie anticipata ? Concepeti un model de circuit echivalent pentru circuitele emiter si victima . Masurati inductanta fiecarei infasurari ( emiter si victima ) cu ajutorul puntii de masura RLC. În final, folositi o sursa de semnal sinusoidal de 1 MHz pentru a determina M pentru valorile lui regale cu 0, 11, si 16.5 cm. Retineti ca valoarea lui M poate fi determinata cu ajutorul Ec. (4), unde * Z_sv + Z_Lv * / Z_Lv = 1 , incepind de la Z_sv = 0 , iar Z_Lv = 50 (ohm) este impedanta de sarcina a infasurarii victima .
Discutarea Rezultatelor (Determinarilor) Experimentale
1. Reprezentarea grafica a tensiunii masurate in circuitul victima ca o functie de arie (suprafata) a infasurarii victima nu este o functie liniara, i.e. cu alte cuvinte , dublind aria infasurarii victima nu se dubleaza valoarea masurata a tensiunii de zgomot. Numai daca densitatea de flux produsa de curentul din circuitul emitator care strabate infasurarea victima ramine constant atunci functia care descrie dependenta valoarii masurate a tensiunii de zgomot in raport cu suprafata infasurarii victima ar putea fi lineara. Cu alte cuvinte cimpul magnetic produs de curentul din circuitul emitator este constant in regiunea apropiata din spatiu. În mod clar acest lucru nu este adevarat. Cimpul magnetic descreste rapid in functie de distanta fata de infasurarea emitatoare, asa cum se arata in Exercitiul 2 din experiment. Initial cresterea suprafetei infasurarii victima de la diametrul de 4 cm la diametrul de 5.5 cm diameter are ca efect o crestere rapida relativa a valorii tensiunii de zgomot masurate in circuitul victima. În orice caz, cu cit infasurarea are un diametru mai mare, cu atit un procent mai mare din fluxul total este cuplat cu infasurarea victima ca rezultat al cresterii suprafetei, dar fluxul aditional este mai mic, deoarece noua suprafata adaugata este obtinuta la o distanta mai indepartata fata de circuitul emitator acolo unde cimpul magnetic descreste rapid. Legea lui Faraday este
(6) 
Deoarece B( r,t) este marime variabila in functie de distanta in spatiu r, dublind suprafata fem (sau tem) nu se dubleaza, deoarece flux reprezinta integrala spatiala a marimii B( r ,t ) .

Figura 6. Tensiunea Maxima in functie de Suprafata .  Suprafata Vpp Vs

2. Asa cum indica Exercitiul 1, cimpul magnetic produs de curentul din infasurarea emitatoare descreste daca distanta fata de infasurare creste. Deci, cu cit separatia dintre infasurarile emitatoare si victima creste, fluxul de cuplaj devine mai slab (neglijabil), iar valoarea masurata a tensiunii de zgomot descreste. La o departare de citiva centimetri, aceasta descrestere este de aproximativ 1/r ori . De remarcat in acest caz, ca la o distanta foarte mica fata de infasurarea emitatoare, forma curentului din infasurarea emitatoare este importanta in determinarea cimpului magnetic , si nu este o simpla descrestere de 1/r ori .

Figura 7. Separarea Înfasurarilor ( Separarea Vpp Vs Tensiunile maxime )

3. Cele doua orientari ale infasurarilor pentru Cazurile 1 si 5 au ca rezultat valoarea tensiunii de zgomot datorita cuplajului care este aproximativ in faza, si cu un defazaj de 180 E fata curentul din infasurarea emitatoare . Aceste orientari au ca rezultat perioade care sunt in opozitie asa cum se arata in modelul de circuit echivalent care produce alternanta de semn .

Pentru Vzgomot si Ie in faza ( sinfazici ) Vzgomot = jwLvIv + jwMIe Pentru Vzgomot si Ie in opozitie de faza ( antifazici ) Vzgomot = jwLvIv - jwMIe Figura 8. Modelele de circuit echivalent si ecuatiiile pentru infasurarile orientate ca in Cazurile 1 si 5

4. Pentru cele doua infasurari cu axele coincidente, si avind orientarea infasurarii victima in asa fel incit valoarea masurata a tensiunii de zgomot este pozitiva, are ca rezultat obtinerea unei tensiuni maxime pozitive . În acest caz, practic tot fluxul creeat de curentul din infasurarea emitatoare este cuplat prin suprafata infasurarii victima, daca infasurarea victima pozitionata direct deasupra infasurarii emitatoare asa cum se arata mai jos . În orice caz, daca axa infasurarii victima este deplasata in afara infasurarii emitatoare, fluxul este cuplat la infasurarea victima in directie opusa pentru suprafete distincte asa cum se arata mai jos. Atunci cind fluxul pozitiv net este egal cu fluxul net negativ care cupleaza infasurarea victima, valoarea masurata a tensiunii de zgomot este zero. Valoarea masurata maxima negativa a tensiunii este obtinuta atunci cind valoarea totala a fluxului de cuplare a circuitului victima are aceeasi directie, si distanta de separatie dintre infasurari este zero. Daca distanta de separatie dintre cele doua infasurari creste, cimpul magnetic produs de curentul din circuitul emitator descreste rapid, iar valoarea masurata a tensiunii de zgomot descreste .

Figura 9. Efectul separarii axelor asupra tensiunii de zgomot( Maximum pozitiv , Maxim negativ , Valoare zero )

5. Valoarea masurata a tensiunii de zgomot din circuitul victima este proportionala cu derivata curentului din circuitul emitator asa cum se poate vedea in Figura 10.

Figura 10. Dependenta prin intermediul derivatei dintre curentul din infasurarea emitatoare si tensiunea indusa in infasurarea victima .( Tensiunea emitatorului, Tensiunea victimei )

Inductanta mutuala poate fi obtinuta din Ec.(3) sau cu o buna aproximatie din Ec.(4). Folosind Ec.(4)
(7) M . V_zgomot / jwI_l
De notat ca V_zgomot si I_e sunt marimi complexe. În consecinta, inductanta mutuala este
M = k (L_e L_v)^1/2 , unde k este coeficientul de cuplaj, iar L_e si L_v sunt aproximativ egale cu 4.6 FH. Valorile aproximate pentru M considerind citeva distante sunt in aceste cazuri

r (cm)	0	11	16,5
M (FH)	2,6	0,38	0,048

Revenire la Manual de Laborator